question:Give a Really Shortest Description Backstory about Power Rangers/Baldi’s Basics in Education and Learning Merged Together x UniKitty! Cartoon Network Series Crossover, SCP-999-ARC “Jason Null Scott” meeting these main characters, Princess UniKitty (Jason’s Girlfriend), Puppycorn (Unikitty’s Younger Brother), Dr. Fox (Hawkodile’s Crush), Hawkodile, Richard, Master Frown (Antagonist), Brock, Feebee, Dino Dude, Kickflip, and meets the citizen characters, Action Police, Asteroid, Eagleator, Score Creeper, Master Fear, Master Hazard, Master Malice, Master Misery, Master Papercuts, Master Plague, Bagel, Lego Batman, Beatsby, Beau, Burger Person, Buzz, Nostromoo, Old Timey Mustache Man, Captain Short, Pet Pet, Samurai Squad, and more of the characters that was up in the UniKitty! Cartoon Network Series, and SCP-999-ARC, Object Class: Safe, Special Containment Procedures: SCP-999-ARC is to be contained within a humanoid containment cell at Site-██. The cell must be furnished with standard amenities and recreational materials to ensure SCP-999-ARC’s comfort. Daily play sessions and social interactions with personnel are encouraged to maintain SCP-999-ARC’s positive demeanor. Description: SCP-999-ARC, designated as Jason Null Scott, is a 16-year-old male humanoid with reality warping abilities. He possesses various superhuman physical characteristics, such as enhanced senses, acrobatic feats, and telekinesis, along with the ability to manipulate sound and reality itself. SCP-999-ARC also possesses Fourth Wall Awareness, allowing him to have knowledge of the game mechanics and interact with the player. Due to his presence in the game Baldi’s Basics in Education and Learning, SCP-999-ARC gained the power to manipulate the game’s reality, resulting in the school turning red and his ability to project his voice throughout the entire facility. He also displayed extrasensory perception, able to detect the player’s actions and telekinetically block off paths. In addition to his reality manipulation abilities, SCP-999-ARC is a skilled martial artist and possesses various weapons and zords, which he acquired through his identities as the Red Mighty Morphin Ranger and the Gold Zeo Ranger. These weapons include the Power Sword, Blade Blaster, Golden Power Staff, and the ability to command zords such as the Tyrannosaurus Dinozord and Pyramidas, among others. Despite his immense powers, SCP-999-ARC remains a supportive and good-hearted individual, often utilizing his abilities to protect others and maintain order within the game world. His leadership and analytical skills have proven invaluable in defeating numerous threats and enemies, both alone and with his team, and all of the UniKitty Characters still maintain their original personalities and dynamics in their show, and Unikitty is the energetic, bubbly, and bright princess of Unikingdom. She’s a creative thinker and leads the charge when there’s a problem in need of a solution, This half-cat-half-unicorn has emotions so strong that they can change her color or physical form, but one thing that will never change about Unikitty is her sweet personality and goofy sense of humor, Unikitty is a pink unicorn-cat hybrid. She has a light pink muzzle with red blush spots on her cheeks that can change depending on her emotions. She has large blue eyes with an eyelash coming out of the sides of each of them. She has hot pink triangular ears with a blue unicorn horn nestled into a white casing. She has a green neck. Her front paws are blue with white tops, while her back paws are yellow with white tops. She has a bushy blue tail with a white underside. When she opens her mouth, there is a small fang in the top of it, Puppycorn is a dog with a unicorn horn. His coat is cobalt blue and cream in color with red and white paws. His tail is blue and round. He has a tan snout and auburn nose, with his mouth having a prominent snaggletooth. There are three, tan freckles on each side of his face. He has auburn eyes and thick eyebrows. He has short, triangular ears that flop downwards, and a cracked, yellow horn with a red base. He wears a black collar with dark, gray spikes, Puppycorn, like the first half of his species, is energetic and playful, as well as slightly dimwitted. He tries to best himself against his older sister, which often fails, but he never gives up on attempting. Like his sister, he loves to have fun, but she is protective of his feelings - to the point that him being upset is something that can drive Unikitty berserk, Dr. Fox is an orange vixen. She has a light orange muzzle with a cream-colored snout and pink nose. She wears a pair of round black glasses over her green eyes. She wears a cream lab coat with a pair of black pants. She has a puffy orange tail tipped with cream coloring, Dr. Fox’s compass watch. Sometimes, Dr. Fox is equipped with a ray gun, or a compass watch when lost, Hawkodile is a green hawk-crocodile hybrid. He has a dark orange head with a yellow beak that contains teeth. He wears a pair of black sunglasses that morphs with his emotions. He has thick arms with feathers on the shoulders. He wears a pair of red boxing gloves. His belly is ridged, with a slightly lighter green color. He wears a black pair of shorts and has yellow talons for feet. He has a pair of dark orange wings on his back, Despite his rough exterior, Hawkodile has a calm personality. He is not afraid to question issues that face the others, yet is still the muscle and protector of them. He is very deductive, using his brute strength to get to the bottom of situations whenever he needs to. But sometimes, he can get incredibly wild when it comes to enjoying anything fun. His one weakness is his inability to admit when he has romantic feelings for someone, preferring to keep his feelings bottled up so tight they literally crush him, Richard is a grey 1x3 LEGO brick. As such, he has three studs on top of him. He has light blue sclera and no irises. He is often seen frowning with puffed-out cheeks, Stoic and melancholy, Richard is the straight man/father figure of the main character group. He logically approaches situations when the gang goes crazy or don’t think through their actions clearly, Master Frown is a robed humanoid creature of unknown origin. His face is a yellow disc, with thick eyebrows and light yellow sclera. He wears a black hooded robe with a double-tiered navy chevron shape on the collar. When his arms are visible, they are navy rectangular shapes with double-tiered navy stripes on the front, Hailing from Frowntown, Master Frown is a foil to Unikitty’s personality. While Unikitty is all about happiness, Master Frown is all about frowns and negativity. However, to him, negativity can be something as normal and mundane as drinking the rest of someone else’s glass of milk. To him, things in real life that are small issues are treated as the biggest evils he can pull off. However, it’s these minor things that make him happy to think he has a chance of putting a damper on Unikitty’s parade, Master Frown works hard to try and please his superior, but it usually ends up looking bad on him - despite this, Master Doom still keeps him around, mainly just to fill in the gap of the evil organization. Deep down, Master Frown is lonely, and he actually cares for Brock, who has been his only friend, though he prefers concealing his soft spot and behave like a total jerk, and Brock is a grey tombstone-shaped creature. He lacks legs, and he has small rectangular arms that float off of his body. He has lime green sclera and eyebrows that float off of his body. He also has one eye bag, Brock, in contrast to Master Frown, is a chill and calm person, who loves playing with video games. Not much is able to phase him, and he appears to hold no ill will towards the citizens of the Unikingdom, and Jason gets Transported into Unikingdom, and sometimes when Richard tries to tell Princess something, he gets interrupted by everytime, and Jason’s voice glitches in and out just like Null/filename2 from Baldi’s Basics.

question:Make a Part 1 with a talk script scenario about Jason coming to visit Princess UniKitty, Puppycorn, Dr. Fox, Hawkodile, Richard, Master Frown, and Brock after a long time but Jason comes out of the portal flying hitting everything and he is badly injured and is nearly dead, is unconscious and has no pulse.

question:Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: Geboren 1936, Gestorben 1992, Lette, Mann, Nationaler Einzelmeister (Schach), Sachbuchautor (Schach), Schachspieler, Schachspieler (Lettland), Schachspieler (SG Porz), Schachspieler (SK Zehlendorf)], Michail Nechemjewitsch Tal (, ; 9. November 1936 in Riga – 27. Juni oder 28. Juni 1992 in Moskau) war ein lettisch-sowjetischer Schachspieler und von 1960 bis 1961 der achte Schachweltmeister. Bei der Schachweltmeisterschaft 1960 setzte er sich im Alter von 23 Jahren gegen Michail Botwinnik durch und wurde damit zum bis dahin jüngsten Spieler, der den Titel des Schachweltmeisters erringen konnte. Beim Revanchekampf 1961 verlor er den Titel wieder an Botwinnik. Der „Zauberer von Riga“ machte sich durch seinen taktisch geprägten und risikoreichen Spielstil einen Namen. Zeit seines Lebens machte ihm seine Gesundheit zu schaffen. Obwohl er schwer nierenkrank war, rauchte er viel und trank exzessiv, was der Grund seiner zahlreichen Leistungsschwankungen war., Trotz seines riskanten und unbeständigen Spiels hatte er auch nach dem Verlust des Weltmeistertitels große Turniererfolge zu verbuchen: So gewann er insgesamt sechsmal die sowjetische Meisterschaft, nur Botwinnik kam auf die gleiche Anzahl. Er blieb zwischen Oktober 1973 und Oktober 1974 in 95 aufeinanderfolgenden Partien ungeschlagen, was bis heute eine der längsten Serien im Spitzenschach darstellt. Dabei entwickelte Tal im späteren Verlauf seiner Karriere seine Spielweise in Richtung eines universelleren, solideren Stils weiter., Leben und Karriere., Frühe Jahre., Michail Tal wurde am 9. November 1936 im lettischen Riga in einer jüdischen Familie geboren, als Sohn des Neurologen Nechemja Borissowitsch Tal und dessen Frau Ida Grigorjewna Tal. Tals Eltern waren Cousin und Cousine. Tals erster Frau Sally Landau sowie Mark Taimanow zufolge war nicht Nechemja Tal der leibliche Vater, sondern Robert Papirmeister, dessen Arbeitskollege und ein enger Freund der Familie. Tals späterer Ehefrau Angelina zufolge ist dies lediglich ein unwahres Gerücht. Obwohl er, möglicherweise wegen falscher Medikation seiner Mutter während der Schwangerschaft, mit nur drei Fingern an der rechten Hand (Ektrodaktylie) geboren wurde, spielte Tal Tischtennis, Klavier und während der Schulzeit Fußball. Nach dem deutschen Überfall auf die Sowjetunion floh Tal mit seiner Familie nach Jurla in der Region Perm, im Westen des Uralgebirges. Im November 1944 kehrten die Tals nach Riga zurück., Im Alter von sieben Jahren erlernte Tal das Schachspiel, mit neun trat er dem Schachzirkel im Rigaer Pionierpalast bei, wo Jānis Krūzkops, der auch Jānis Klovāns trainierte, sein erster Trainer wurde. 1949 machte er mit einem Sieg über Ratmir Cholmow bei einer Simultanveranstaltung erstmals auf sich aufmerksam. Im selben Jahr begann seine lebenslange Zusammenarbeit mit Alexander Koblenz, der als Trainer entscheidenden Anteil an der Karriere Tals hatte. Er war für Tals Eröffnungsvorbereitung und psychologische Ratschläge zuständig. 1951 nahm er erstmals an der Lettischen Staatsmeisterschaft teil, die er 1953 mit 14,5/19 im Alter von 16 Jahren gewinnen konnte., Während der Schulzeit übersprang Tal zwei Klassen. Er begann mit fünfzehn ein Studium der russischen Sprache und Literatur an der Universität Lettlands, das er 1958 mit dem Staatsexamen abschloss. Seine Diplomarbeit behandelte das Thema „Die Satire im Roman Zwölf Stühle von Ilf und Petrow“. Jedoch wandte er sich schon früh dem professionellen Schach zu., 1955 gewann Tal überraschend das Halbfinale zur 23. UdSSR-Meisterschaft, die 1956 in Leningrad stattfand. Dort belegte er mit einem Punkt Rückstand auf den ersten Platz den geteilten 5.–7.Platz. Grigori Löwenfisch bezeichnete Tal als auffälligsten Spieler des Turniers und lobte ihn als „außerordentlich begabten Taktiker“ und als „großes Talent“. Bei der Studentenweltmeisterschaft im schwedischen Uppsala 1956 trat Tal erstmals im Ausland auf und holte für die Mannschaft der UdSSR am dritten Brett hinter Viktor Kortschnoi und Lew Polugajewski 6 Punkte aus 7 Partien., Aufstieg in die Weltspitze., 1957 sorgte der 20-jährige Tal mit einem Sieg bei der 24. UdSSR-Meisterschaft in Moskau für Aufsehen. Für seinen Sieg wurde er im selben Jahr von der FIDE zum Großmeister ernannt. Im Jahr darauf konnte er die 25.Ausgabe, die in seiner Heimatstadt Riga ausgetragen wurde, ebenfalls gewinnen. Das Turnier galt in diesem Jahr gleichzeitig als Zonenturnier, womit sich Tal für das Interzonenturnier im jugoslawischen Portorož qualifizierte. Dort war er erneut siegreich und qualifizierte sich somit als einer der besten sechs Spieler, darunter auch der 15-jährige Bobby Fischer bei seinem internationalen Debüt, für das Kandidatenturnier. Im selben Jahr nahm er erstmals an der Schacholympiade teil, die bei ihrer 13.Ausgabe im Jahr 1958 in München stattfand. Dort holte er am Reservebrett 13,5 Punkte aus 15 Partien und erzielte damit das beste Einzelresultat. Zudem lernte er dort Michail Botwinnik kennen, der für die Sowjetunion am ersten Brett spielte. Nach seinem Auftritt bei der Olympiade galt Tal in der Schachwelt für viele als neuer Hauptkonkurrent des amtierenden Weltmeisters Botwinnik. Max Euwe, der fünfte Schachweltmeister, bezeichnete Tal als „herausragende Erscheinung des Schachs“. 1959 gewann er das Internationale Turnier von Zürich und belegte den geteilten 2.–3.Platz bei der sowjetischen Meisterschaft., Im Herbst 1959 fand das Kandidatenturnier zur Ermittlung des Herausforderers für die Schachweltmeisterschaft 1960 in den jugoslawischen Städten Belgrad, Bled und Zagreb statt. Bei diesem Turnier zählte Tal trotz seiner vorigen Leistungen nicht zu den Favoriten, da er von einer Nierenerkrankung angeschlagen war und sich einige Wochen vor Turnierbeginn hatte operieren lassen. Die Konkurrenten Tals waren Pál Benkő, Bobby Fischer, Svetozar Gligorić, Paul Keres, Friðrik Ólafsson, Tigran Petrosjan und der Ex-Weltmeister Wassili Smyslow. Tal gewann das Turnier mit 20 Punkten aus 28 Partien mit 1,5 Punkten Vorsprung vor Keres, gegen den er den direkten Vergleich mit 1:3 verloren hatte. Gegen den späteren Weltmeister Fischer gewann Tal alle vier Partien. Somit durfte er 1960 im WM-Kampf gegen Botwinnik antreten. Zur Vorbereitung auf die Weltmeisterschaft nahm Tal auf Rat seines Trainers Koblenz am – im internationalen Vergleich eher unbedeutenden – Ersten Internationalen Turnier von Riga teil, um sich bei den dortigen Partien auf sein defensives Spiel, was er selbst als seine „Achillesferse“ bezeichnete, zu konzentrieren. Mit neun Punkten aus dreizehn Partien belegte er dort den vierten Platz., Weltmeistertitel und gesundheitliche Probleme., Die Schachweltmeisterschaft 1960 in Moskau zwischen Michail Tal und Michail Botwinnik begann am 14.März mit der Eröffnungszeremonie, die erste Partie wurde am Tag darauf gespielt. Der Wettkampf war auf 24 Partien angesetzt, wer als Erster 12,5 Punkte erreichte, sollte neuer Weltmeister werden. Bei einem 12:12 hätte Botwinnik als Titelverteidiger seinen Titel behalten. Tal hatte in der ersten Partie Weiß und eröffnete, wie er bereits auf der Abschlusszeremonie des Kandidatenturniers angekündigt hatte, mit 1.e4. Botwinnik wählte ein scharfes Abspiel in der Winawer-Variante der Französischen Verteidigung, wonach eine komplizierte Position entstand, in der Tal die Oberhand behielt und somit 1:0 in Führung ging. Nach vier Remisen konnte Tal in der sechsten Partie in einer taktisch geprägten Partie einen weiteren Sieg einfahren und nach einem Patzer von Botwinnik in der folgenden Partie seine Führung auf 5:2 ausbauen. Danach gelangen jedoch Botwinnik ebenfalls zwei Siege in Folge. Eine der Schlüsselpartien des Kampfes war die elfte Partie, in der Botwinnik Tal nicht auf taktischem, sondern auf positionellem Gebiet unterlegen war und zwei einfache Wege zu einem Unentschieden übersah. In der 17.Partie unterlief Botwinnik in klar vorteilhafter Stellung bei Zeitnot ein entscheidender Fehler, der ihn die Partie kostete. Somit lag Tal wieder drei Siege in Führung und sicherte sich nach mehreren Unentschieden und einem Sieg in der 19.Partie nach 21 Partien am 7. Mai 1960 als achter und bis dahin jüngster Spieler den Weltmeistertitel., Tal verlor jedoch den Revanchekampf ein Jahr später mit 8 zu 13, weil Botwinnik sich akribisch auf den Gegner vorbereitet und eingestellt hatte und über die bessere Physis verfügte. Schon damals hatte Tal gesundheitliche Probleme. Hinzu kam, dass er die Vorbereitung unterschätzte und einen exzessiven Lebenswandel bevorzugte. Kurz vor dem Kampf erkrankte Tal und schlug auf Empfehlung seiner Ärzte eine Verschiebung des Matches vor. Nachdem Botwinnik eine offizielle Untersuchung von Tal in Moskau gefordert hatte, entschloss sich Tal, den Kampf trotz seiner gesundheitlichen Probleme nicht zu verschieben. Im Herbst 1961 konnte Tal ein stark besetztes Turnier in Bled gewinnen, bei der sowjetischen Meisterschaft in Baku belegte er den geteilten 4.–5.Platz., Im März 1962 unterzog sich Tal, der zunehmend mit Nierenproblemen zu kämpfen hatte, einer komplizierten Nierenoperation. Das Kandidatenturnier 1962 auf der Karibikinsel Curaçao musste er wegen starker Schmerzen nach dem dritten Durchgang abbrechen und pausierte einige Monate mit dem Schachspiel, bis er bei der 15.Schacholympiade im bulgarischen Warna als zweiter Ersatzmann für die Sowjetunion wieder zum Einsatz kam. Nach einem geteilten 2.–3.Platz bei der UdSSR-Meisterschaft in Jerewan musste Tal erneut wegen gesundheitlicher Probleme pausieren und mehrere Operationen über sich ergehen lassen. Bei der Schachweltmeisterschaft 1963 zwischen Botwinnik und Petrosjan war er als Kommentator tätig. Im Juli 1963 setzte Tal seine Spielerkarriere fort, als er das Asztalos-Memorial im ungarischen Miskolc mit zwei Punkten Vorsprung vor Dawid Bronstein gewann. Nach einer Reihe weiterer erfolgreicher Turnierauftritte nahm Tal 1964 am Interzonenturnier in Amsterdam teil, wo er sich – erstmals ohne Niederlage – mit 17 Punkten aus 23 Partien für das Kandidatenturnier zur Schachweltmeisterschaft 1966 qualifizierte. Für die Schacholympiade 1964 in Tel Aviv-Jaffa wurde Tal dennoch nicht nominiert. Bei der 32. UdSSR-Meisterschaft in Kiew zum Jahreswechsel 1964/65 wurde er Dritter., Im Sommer 1965 begann das Kandidatenturnier, das ab jenem Jahr nicht mehr als Rundenturnier, sondern als K.-o.-Turnier stattfand. Im Viertelfinale, das in Bled stattfand, traf Tal auf Lajos Portisch, gegen den er sich mit 5,5 zu 2,5 durchsetzen konnte. Nach einer Woche Pause lieferte sich Tal im Halbfinale ein spannendes Match gegen Bent Larsen, das er knapp mit 5,5 zu 4,5 gewann. Im Finale: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück

question:Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück: Algebraische Geometrie, Zahlentheorie], Heegner-Punkte (benannt nach Kurt Heegner) sind Zahlen, die quadratische Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten lösen, und die mit Punkten auf geometrischen Figuren, nämlich Modulkurven, verknüpft werden können. Die mittels der Verknüpfung gegebenen Punkte auf Modulkurven werden ebenfalls Heegner-Punkte genannt und sind Gegenstand der arithmetischen Geometrie. Sie spielen eine bedeutende Rolle in der Theorie der elliptischen Kurven und in der Klassenkörpertheorie. Heegner-Punkte unterscheiden sich von den namensähnlichen Heegner-"Zahlen"., Die als Heegner-Punkte bezeichneten Lösungen der quadratischen Gleichung sind komplexe Zahlen mit ausschließlich positivem Imaginärteil. Beispielsweise ist die Zahl formula_1 ein Heegner-Punkt, da sie den positiven Imaginärteil formula_2 besitzt und die Gleichung formula_3 erfüllt. Die Lösungen werden verwendet, um Punkte zu erzeugen, die die komplizierteren Gleichungen von Modulkurven oder elliptischen Kurven erfüllen. Der Mehrwert dieser Methode liegt darin, dass Heegner-Punkte anhand der quadratischen Gleichung einfach bestimmt werden können. Die damit erzeugten Punkte geben letztlich einige Auskunft über Fragestellungen aus der Zahlentheorie. Kurt Heegner verwendete sie, um Fragen der Zerlegung von Zahlen in elementarere multiplikative Bausteine nachzugehen, die analog zur Theorie der Primzahlen sind., Indirekt sind Heegner-Punkte in Ideen involviert, die Kreiszahl formula_4 auf viele Stellen nach dem Komma zu ermitteln. Sie sind ein Ausgangspunkt für den Chudnovsky-Algorithmus, mit dessen Hilfe bis heute (Stand 2023) über 100 Billionen Dezimalstellen von formula_5 berechnet wurden., Besondere Prominenz erhalten Heegner-Punkte im Themenkreis rund um die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, eines der sieben Millennium-Probleme der Mathematik. Sie spielten die Schlüsselrolle bei der Frage, warum diese bis heute im Allgemeinen unbewiesene Hypothese nur in ganz bestimmten Fällen mit den bisher errungenen Erkenntnissen bewiesen werden konnte. Dies sind genau die Fälle, in denen die zugehörigen elliptischen Kurven – dies sind die Gegenstände der Vermutung – einen „unmittelbaren Bezug“ zu Heegner-Punkten haben. Über die Betrachtung unendlich vieler Heegner-Punkte gleichzeitig, sogenannter Heegner-Systeme, konnte Victor Kolyvagin in Kombination mit Resultaten von Benedict Gross und Don Zagier im Jahr 1988 zeigen, dass die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer im Falle der analytischen Ränge formula_6 und formula_7 wahr ist., Bis heute gelten Heegner-Punkte als Objekte mathematischen Interesses, auch bei der Verwendung von Algorithmen, also rechnerischen Verfahren. Wichtige Beiträge zu deren Erforschung lieferten Bryan Birch, Henri Darmon, Peter Swinnerton-Dyer, Benedict Gross, Kurt Heegner, Winfried Kohnen, Victor Kolyvagin, Barry Mazur, Heinrich Weber, Zhang Wei, Don Zagier und Shou-Wu Zhang., Grundlegende Einordnung., Über Kurven und rationale Punkte., Eine algebraische Kurve ist im Prinzip eine große Familie von Punkten, die alle eine gemeinsame algebraische Relation erfüllen. Das bedeutet, dass es eine Gleichung zu Null gibt, in der ausschließlich addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert wird, die von allen Punkten gleichzeitig erfüllt wird. Ein Beispiel ist die Gleichung formula_8 (formula_9 wird lediglich mit sich selbst "multipliziert" und anschließend wird 1 vom Ergebnis "subtrahiert"), die genau von formula_10 gelöst wird. Somit bildet die Familie formula_11 die „Vorstufe“ einer Kurve, obgleich zwei Punkte noch nicht eine „kurvige“ Anschauung hervorrufen., Ein erstes nicht-triviales und häufig genanntes Beispiel einer Kurve ist der Kreis mit Radius1 und Mittelpunktformula_12 in der Zahlenebene, der genau durch die Punkte formula_13 gegeben ist, welche die Relation formula_14 erfüllen. Es können also auch Punkte mit mehr als einer Koordinate Kurven bilden, und tatsächlich wird es auch erst hier „reichhaltiger“. Dass die reellen Lösungen der Gleichung formula_14 einen Kreis bilden, kann mit dem Satz des Pythagoras bewiesen werden. Von Interesse ist, dass eine eigentlich geometrische Figur wie der Kreis von einer algebraischen Relation herrührt. Auch anderen Gebilden wie Geraden, Ebenen, Hyperbeln etc. liegen algebraische Gleichungen zugrunde., Während der Kreis erst durch Betrachtung aller reellen Zahlen „lückenlos“ entstehen kann, so liegt etwa formula_16 auf dem Kreis, da, ist es für die Zahlentheorie von Interesse, Punkte auf Kurven zu finden, die ganz besonders „einfach“ sind. Damit sind zum Beispiel rationale Punkte gemeint, die neben der ohnehin schon restriktiven Kurvenlage die Eigenschaft haben sollen, dass ihre Koordinaten durch Quotienten ganzer Zahlen beschrieben werden können. So ist es eine klassische Frage der Zahlentheorie, welche rationalen Punkte auf dem Kreis formula_14 liegen. Zum Beispiel ist formula_16 "kein" rationaler Punkt, da man weiß, dass die Quadratwurzel aus 2 keine rationale Zahl ist. Beispiele für rationale Punkte sind formula_20, da, aber auch formula_22 sowie formula_23. Diese Punkte leiten sich aus den pythagoreischen Tripeln ab, also nicht-trivialen ganzen Zahlen formula_24 mit formula_25. Es kann über elementare Methoden gezeigt werden, dass es unendlich viele "primitive" pythagoreische Tripel gibt, also solche, die nicht ganze Vielfache anderer Tripel sind, weshalb der Kreis tatsächlich „übersät“ mit rationalen Punkten ist, siehe dazu auch in den Artikel Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis. Allgemein gelten quadratische Kurven hinsichtlich rationaler Punkte als weitgehend verstanden., Bereits durch dieses Beispiel wird eine Synthese aus Geometrie (Figuren, hier ein Kreis), Algebra (Gleichungen, die nur Grundrechenarten verwenden) und Zahlentheorie (rationale Zahlen) erkennbar., Elliptische Kurven., Bei Weitem nicht so zugänglich sind sogenannte elliptische Kurven (über den rationalen Zahlen), die allgemein in der Form formula_26 mit rationalen Zahlen formula_27 beschrieben werden können. Während der geometrischen Figur des Kreises eine "quadratische" Gleichung zugrunde lag, handelt es sich bei einer elliptischen Kurve um eine "kubische" Gleichung (also mit Termen "hoch 3"). Das Besondere an elliptischen Kurven ist, dass man aus zwei bereits bekannten (rationalen) Punkten formula_28 und formula_29 über eine Verknüpfung formula_30 einen neuen rationalen Punkt formula_31 berechnen kann, genauso wie man aus zwei ganzen Zahlen mit der Addition eine neue ganze Zahl erzeugen kann. Bei der Addition eines rationalen Punktes zu sich selbst können zwei Situationen eintreten: Entweder der betrachtete Punkt ist von "endlicher Ordnung" und schließt einen endlichen Zyklus, d.h., irgendwann tritt die Situation formula_32 ein und es geht von vorne los, oder es entstehen bis ins Unendliche immer neue Punkte, was vergleichbar mit der Erzeugung aller natürlicher Zahlen durch formula_33 ist. In diesem Fall sagt man, dass formula_34 "unendliche Ordnung" hat. Gelegentlich spricht man bei Punkten endlicher Ordnung auch von "trivialen" und bei welchen mit unendlicher Ordnung auch von "nicht-trivialen" Punkten., Die Theorie der elliptischen Kurven ist äußerst umfangreich, zahlentheoretisch im Zusammenhang mit dem großen Satz von Fermat von Bedeutung und wird von Mathematikern wie Henri Cohen auf den Umfang vieler tausend Seiten (in moderner mathematischer Sprache) geschätzt. Trotz ihrer Strukturen sind manche ihrer Eigenschaften bis heute nicht geklärt. So kennt man bis heute keinen "allgemeinen" Algorithmus, der endlich viele rationale Punkte liefert, mit deren Hilfe "alle anderen" rationalen Punkte auf der Kurve durch Verknüpfung gewonnen werden können (eine positive Antwort auf die "starke" Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer würde jedoch einen solchen Algorithmus liefern). Jedoch können "Heegner-Punkte" in manchen Fällen dabei helfen, nicht-triviale rationale Punkte zu erzeugen., Was elliptische Kurven über den rationalen Zahlen, neben ihrer Fähigkeit einer Punktaddition, so in den Fokus des Interesses rückt, ist die Tatsache, dass sie die einzigen Kurven sind, die endlich, aber auch unendlich viele rationale Punkte haben können. Elliptische Kurven haben nämlich das Geschlecht formula_35 und nach der Vermutung von Mordell, bewiesen von Gerd Faltings, haben Kurven von Geschlecht formula_36 mit einem rationalen Punkt bereits unendlich viele rationale Punkte, während Kurven von Geschlecht formula_37 stets nur endlich viele rationale Punkte haben können. Für seine Leistung wurde Faltings 1986 mit der Fields-Medaille geehrt., Parametrisierung von elliptischen Kurven., Die Eigenschaft einer elliptischen Kurve, über den komplexen Zahlen ein Donut zu sein, kann dadurch erklärt werden, wie sich diese parametrisieren lässt., Eine Parametrisierung ist eine Abbildung von einem „einfachen“ Parameterobjekt in ein „kompliziertes“ Zielobjekt, mit dessen Hilfe durch Einsetzen von beliebigen Eingaben (Parametern) des Parameterobjekts beliebige nicht-triviale Teile des Zielobjekts erzeugt werden können. Mit „einfach“ ist gemeint, dass das Parameterobjekt in erster Linie ein „bekanntes Parameterobjekt“ ist, über das genügend Wissen vorhanden ist und aus dessen Vorrat nun nacheinander Werte eingesetzt werden, um damit ein anderes (unbekanntes, komplizierteres oder strukturell anspruchsvolleres) Objekt aufzubauen. Oft handelt es sich sowohl bei den Ein- als auch bei den Ausgaben um Punkte, die in ihrer Kollektion ein geometrisches Objekt darstellen., Ein Beispiel einer Parametrisierung ist die des Kreises: Das „einfache“ Parameterobjekt ist hierbei das Intervall formula_38, also alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1, über dessen Inhalt wir kanonisch verfügen, und das „komplizierte“ Zielobjekt der Kreis, wobei eine mögliche Abbildung, ist. Nach dem Satz des Pythagoras ist formula_40 unabhängig von der Eingabe formula_41, womit aufgrund der Periodizität und Stetigkeit von Sinus und Kosinus der gesamte Kreis erzeugt wird. Nutzt man die Veranschaulichung der "komplexen Zahlen" formula_42 (mit reellen Zahlen formula_43) als "Punkte" formula_44, vereinfacht sich die Parametrisierung zu, Für den Zusammenhang zwischen Sinus, Kosinus und der komplexen Exponentialfunktion siehe auch Eulersche Formel. Aus geometrischer bzw. topologischer Sicht wird das Intervall formula_38, ein „Faden“ mit einer Längeneinheit, an beiden Enden genommen und zu einem Kreis zusammengeschlossen., Das Besondere an der Kreisparametrisierung ist, dass sie von einer transzendenten Funktion generiert wird, nämlich formula_47. Dabei bedeutet "transzendent," dass es kein allgemeines Prinzip gibt, die Funktionswerte formula_48 durch "endlich viele" Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen oder Divisionen aus den Eingaben formula_49 und: Gib mir nur 10 Keywords bestehend aus bis zu zwei Wörtern für den folgenden Text in deiner Antwort zurück